Flexible Regressionsmethoden für Kurven and Formen

Das übergeordnete Ziel dieses Projekts ist die Erweiterung des methodischen Instrumentariums für die flexible Regression für Kurven- und Formdaten, das in der ersten Förderperiode in mehrere Richtungen entwickelt wurde. Insbesondere haben wir mehrere Bereiche identifiziert, in denen es noch Lücken in der Literatur gibt, siehe auch unsere Diskussion dieser offenen Probleme in Stöcker et al. (2024), die – obwohl sie damit zusammenhängen – in der ersten Förderperiode noch nicht behandelt wurden. Diese betreffen insbesondere den schwierigen Fall der Re-Parametrisierungsinvarianz (elastische Analyse), bei dem nur eine Quotientenmetrikraumstruktur anstelle einer Mannigfaltigkeitsstruktur verfügbar ist und der auch für den Fall beider Arten von Invarianzen gleichzeitig angegangen werden muss. Dazu gehören insbesondere:

1. Fehleranfällige Beobachtungen: Während wir uns in der ersten Förderperiode mit dem realistischen Fall spärlicher Beobachtungen befasst haben – eine neuartige Entwicklung im Vergleich zu bisher bestehenden elastischen Funktions- und Funktionsformdatenmethoden –, haben wir zusätzliche Fehler nicht explizit berücksichtigt. Fehler in Kurvenbeobachtungen sind aufgrund ungenauer Messungen in Anwendungen zwar wahrscheinlich häufig (ähnlich wie im Fall spärlicher Funktionsdaten), stellen jedoch auch erhebliche zusätzliche Herausforderungen dar, insbesondere für elastische Methoden, die auf Ableitungen im Rahmen der Quadratwurzelgeschwindigkeit basieren.

2. Elastische funktionale und funktionale Formkovariaten: Während wir uns in der ersten Förderperiode auf den Fall elastischer funktionaler und funktionaler Formresultate konzentriert haben, ist der Fall entsprechender Kovariaten noch nicht zufriedenstellend gelöst. In Stöcker et al. (2024) diskutieren wir, warum ein bestehender Ansatz (Ahn et al., 2020) für elastische Kovariaten mehrere Mängel aufweist.

3. Wie in Volkmann et al. (2023a) und Volkmann et al. (2023b) für den Fall multivariater Funktionsdaten erneut nachgewiesen wurde, ist die Hauptkomponentenanalyse (PCA) ein wichtiges Instrument zur Visualisierung der Variabilität in komplexen Daten und dient als Baustein für andere Analysemethoden, einschließlich sparsamer Basisdarstellungen in Regressionsmodellen. Die multivariate funktionale PCA (MFPCA) wäre im elastischen Fall ähnlich nützlich.