Grundlagen für Computer-assistierte Existenzbeweise von Calabi-Yau und G2-Mannigfaltigkeiten

Meine Forschung beschäftigt sich mit Mannigfaltigkeiten mit spezieller Holonomie, insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit G2-Holonomie. Diese sind in der Differentialgeometrie von großer Bedeutung, da sie Ricci-flach und somit Beispiele für Einstein-Mannigfaltigkeiten sind. Yau's Beweis der Calabi-Vermutung zeigt die Existenz vieler Ricci-flacher Kähler-Metriken auf kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Allerdings ist der Beweis nicht konstruktiv und liefert kaum Informationen über die Metrik. Für Mannigfaltigkeiten mit G2-Holonomie gibt es kein allgemeines Existenzresultat, und alle bekannten Konstruktionen führen zu Metriken, die nahe an einem entarteten Limes liegen, sowie zu Mannigfaltigkeiten mit hoher topologischer Komplexität. In den letzten Jahren haben Computer-assistierte Beweise sich als vielversprechendes Werkzeug erwiesen, um Lösungen komplizierter partieller Differentialgleichungen zu konstruieren. Der erste Schritt eines Computer-assistierten Beweises besteht darin, das Problem, eine exakte Lösung zu finden, zu reduzieren, um lediglich eine „annähernde“ Lösung bestimmen zu müssen. Aufbauend auf meiner Expertise in der Perturbation spezieller geometrischer Strukturen zielt mein Forschungsprogramm darauf ab, eine solche Reduktion für zukünftige Computer-assistierte Existenzbeweise von Ricci-flachen Kähler-Metriken und Metriken mit G2-Holonomie herzuleiten. Für Kähler-Mannigfaltigkeiten plane ich, explizite Abschätzungen für den Laplace-Beltrami-Operator zu beweisen. Dies wird ein rigoroses Kriterium für eine „annähernde“ Lösung liefern. Darauf aufbauend möchte ich die optimalen algebraischen Metriken von Headrick–Nassar nutzen, um einen Computer-assistierten Beweis für die Existenz der Ricci-flachen Kähler-Metrik auf der Fermat-Quartik zu geben, der unabhängig von Yau's Beweis ist. Im G2-Kontext plane ich eine allgemeine Methode zu entwickeln, um geschlossene G2-Strukturen mit kleiner Torsion zu torsionsfreien G2-Strukturen zu deformieren. Bisherige Arbeiten von Joyce und Platt gelten nur für Klebekonstruktionen. Außerdem plane ich den Wärmefluss von Weiss–Witt zu nutzen, um zu untersuchen, ob sich eine solche Störungstheorie auf nicht-geschlossene G2-Strukturen erweitern lässt.