SFB/TRR 388/1: „Ruhende Populationen in heterogenen Zufallsumgebungen” (TP A09)

Wir untersuchen zufällige räumlich-zeitliche Populationsmodelle in zufälligen heterogenen Umgebungen mit Dormanz, einer evolutionären Kraft, die die Fähigkeit von Individuen beschreibt, in einen Schutzzustand zu gelangen und diesen wieder zu verlassen, was in der Regel mit dem Ausbleiben der Fortpflanzung einhergeht. Wir betrachten Populationsmodelle unter Berücksichtigung der Populationsgröße (z. B. mehrtypige verzweigte Zufallsbewegungsmodelle in zufälligen, zeitabhängigen Umgebungen) und der Beziehungen zwischen genetischen Typen (z. B. stochastische F-KPP-Gleichungen in zufälligen Umgebungen). Unser Hauptziel ist es, die Merkmale von Situationen zu verstehen, in denen Dormancy eine gültige Überlebensstrategie sein kann. Dazu untersuchen wir die Langzeit-Asymptotik der Gesamtpopulationsgröße, das Langzeitüberleben der Population bzw. die Koexistenz genetischer Typen. Die wichtigste Neuerung dieses Projekts ist die Einführung einer raumabhängigen heterogenen Zufälligkeit zur Modellierung einer schwankenden, möglicherweise feindlichen Umgebung.
Wir reduzieren die Komplexität dieses Problems, indem wir Erwartungen über den Verzweigungsmechanismus bilden (was zum parabolischen Anderson-Modell (PAM) mit zeitabhängigem Zufallspotenzial auf dem ganzzahligen Gitter führt) und/oder indem wir Skalierungsgrenzen gemäß dem Invarianzprinzip von Donsker bilden, was beispielsweise zu ruhenden Varianten der rauen super-Brownschen Bewegung, zu einem ruhenden PAM mit gaußschem weißem Rauschenpotenzial oder zu ruhenden Gleichungen vom Typ Fisher-KPP in einer zufälligen Umgebung führt. Ein zentrales Ziel wird dann die Beschreibung der Langzeit-Asymptotik der Kontinuumsmodelle sein, d. h. der Massenasymptotik und der Überlebens-/Koexistenz-Eigenschaften, insbesondere für Modelle, die Dormancy beinhalten, im Vergleich zu ihren nicht-dormancy-Modellen. Im PAM erwarten wir ein Verhalten, das weit vom zentralen Grenzwertsatz entfernt ist, sowie einen Konzentrationseffekt, der als Intermittenz bezeichnet wird.