Spezielle Geometrien und Fermionische Feldgleichungen

Nichtintegrable spezielle Riemannsche Geometrien in Dimensionen kleiner als <em>8</em> wurden in der Differentialgeometrie in den 70-iger Jahren von A. Gray et. al. studiert und spielten seit der zweiten Hälfte der 80-iger Jahre eine wesentliche Rolle beim Studium kleiner Eigenwerte des Dirac Operators einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (Friedrich et. al.). Ein erneutes Interesse an nichtintegrablen Geometrien entstand in den letzten Jahren durch Entwicklungen in der String-Theorie. Zunächst sind die integrablen Geometrien (Calabi-Yau Mannigfaltigkeiten, Joyce-Mannigfaltigkeiten etc.) Lösungen der Strominger Gleichungen (1986) der String-Theorie, allerdings mit einem verschwindenden B-Feld. Deformiert man diese Vakuum-Lösungen und hält man Ausschau nach Modellen mit nichttrivialem B-Feld, so ergibt sich aus einem von Friedrich/Ivanov (2001-2002) ausgearbeiteten Zugang, dass Lösungen aus speziellen nichtintegrable Geometrien gewonnen werden könnten. <br>
Ziel dieses Projektes ist es, das skizzierte Programm sowohl in seinen differentialgeometrischen, spektraltheoretischen und darstellungstheoretischen Aspekten auszuarbeiten. Dadurch sollen neue Erkenntnisse über diejenigen fundamentalen Begriffe der Geometrie gewonnen werden, die mit speziellen Geometrien verbunden sind (Holonomie-Konzept, "kanonische" Zusammenhänge mit Torsion und deren Dirac-Operatoren) sowie ein Beitrag der modernen Differentialgeometrie zu aktuellen Entwicklungen in der String-Theorie geleistet werden.