Weltlinien-Zugang zur Doppelkopie

Die Doppelkopie bietet einen m¨achtigen Rahmen, der es uns erlaubt Gravitations-Streuamplituden
zu berechnen, indem man die viel einfacheren Eichtheorie-Amplituden als Bausteine verwendet.
Seit ihrer Entdeckung in der Stringtheorie Mitte der achtziger Jahre entwickelte sich das
Doppelkopie-Programm sp¨urbar und ist jetzt meist der beste Weg, um mit den andernfalls
unl ¨osbaren Problemen in der Gravitationstheorie umzugehen. Trotz dessen Erfolgs fehlt noch
immer ein auf Grundprinzipien basierendes Verst ¨andnis der Doppelkopie. Dies zeigt sich vor
allem durch das Fehlen einer klaren Vorschrift jenseits des Bereichs der Streuamplituden.
Das Ziel dieses Forschungsantrags ist, eine Basis f ¨ ur eine eichinvariante und off-shell Konstruktion
der Doppelkopie zu schaffen, um damit ¨uber das Amplitudenniveau hinaus zu gelangen.
Dies m¨ochte ich erreichen, indem ich Techniken des Weltlinienformalismus und dem
algebraischen Zugang zur perturbativen Quantenfeldtheorie kombiniere. Der Weltlinienformalismus
teilt sich sehr viele Gemeinsamkeiten mit der erstquantisierten Stringtheorie, inklusive
der Doppelkopie-Variante des Gravitationsspektrums, was es zu einem vielversprechenden
Zugang an das Problem macht. In Verbindung damit setze ich auf algebraische Methoden, die
Yang-Mills-Theorie und Gravitationstheorie als Homotopie-Lie-Algebren beschreiben. Letztere
sind Verallgemeinerungen von Lie-Algebren, welche h¨ohere multilineare Klammern beinhaltet,
die jeder perturbativen Feldtheorie zugeordnet werden k¨onnen. Sie eignen sich besonders
f ¨ ur eine off-shell und eichinvariante Erweiterung der Doppelkopie, da die Vereinbarkeit aller
Wechselwirkungen und nichtlinearen Eichsymmetrien in verallgemeinterten Jacobi-Identit ¨aten
enthalten ist. Die Wirksamkeit dieses Zugangs best¨ atigte sich in einer aktuellen, von mir und
meinen Mitarbeitern verfassten Arbeit, die eine eichinvariante und off-shell Doppelkopie der
Yang-Mills-Theorie bis zu dritter Ordnung beschreibt.
Im Detail teilt sich der Antrag in drei Hauptprojekte ein. Das Ziel des ersten Teils ist die
Dualit ¨ at zwischen Farbe und Kinematik, eine Eigenschaft der Yang-Mills-Amplituden die von
zentraler Bedeutung f ¨ ur die Doppelkopie ist, auf eine Off-Shell-Algebra zu erweitern. Es gibt
bereits erste Hinweise auf die Existenz einer solchen h¨oheren algebraischen Struktur jenseits
von Streuamplituden, welche die sogenannten kinematischen Jacobi-Identit ¨aten reproduziert.
Diese algebraische Struktur wird eine zentrale Rolle im zweiten Teil des Antrags spielen,
dessen Ziel es ist, eine off-shell Doppelkopie der Yang-Mills-Theorie jenseits der kubischen
Ordnung, und m¨oglicherweise zu allen Ordnungen, zu finden. Die Konsistenz dieser Konstruktion
sollte durch die zugrundeliegenden algebraischen Relationen der einzelnen Kopien
gew¨ahrleistet sein. Erweiterungen dieses Projekts werden die Reduzierung auf Einstein-
Gravitation und die supersymmetrische Erweiterung sein.