Humboldt-Universität zu Berlin

Zusammenfassung der Diplomarbeit

Die Stringtheorie steht seit etwa 20 Jahren im Fokus der Hochenergiephysik, da sie nach Meinung vieler Experten der beste Kandidat für die vereinheitlichte Theorie aller bekannter Naturkräfte ist. Auch wenn die Stringtheorie noch nicht experimentell überprüft werden konnte, macht sie faszinierende qualitative Vorhersagen, wie etwa die Existenz von supersymmetrischen Teilchen oder verborgenen Dimensionen. Diese Vorhersagen könnten etwa an dem Ende 2007 in Betrieb gehenden Large-Hadron-Collider, einem Teilchenbeschleuniger am CERN bei Genf, überprüft werden. Weiterhin besitzt die Stringtheorie eine große Nähe zur Mathematik, was auch schon zu wichtigen Ergebnissen in der Mathematik selbst geführt hat. Umgekehrt finden in der Stringtheorie mathematische Theorien in einer Breite und Tiefe Anwendung wie wohl in kaum einer anderen physikalischen Theorie. Ein Beispiel hierfür stellt die vorliegende Diplomarbeit dar, wo die Anwendung von mathematischen Objekten, den Hopf Algebren, auf physikalische Systeme der AdS/CFT Korrespondenz untersucht wurde. Die von Juan Maldacena entdeckte AdS/CFT Korrespondenz setzt zwei von vornherein unterschiedliche Theorien, zum einen eine Stringtheorie in zehn Dimensionen, zum anderen eine supersymmetrische Eichtheorie in vier Dimensionen, gleich. Die Äquivalenz dieser Theorien ist nicht nur ein für sich interessantes Phänomen, sondern birgt auch das Potential für weitreichende Anwendungen. So hat zum Beispiel die betrachtete Eichtheorie viele Ähnlichkeiten mit der Quantenchromodynamik, der Theorie die das Verhalten der Kernmaterie beschreibt. Die Quantenchromodynamik kann allerdings das Verhalten der Teilchen bei starker Kopplung nicht gut beschreiben, und hier kann die AdS/CFT Korrespondenz helfen einige Phänomene zu erklären.

Ein ausstehendes Problem ist es, einen Beweis der AdS/CFT Korrespondenz zu finden. In einem ersten Schritt dorthin wurden in den letzten Jahren Techniken aus dem Gebiet der integrablen Systeme mit großem Erfolg in der AdS/CFT Korrespondenz angewendet. Dies stellt nicht nur ein weiteres Beispiel für eine Anwendung moderner Mathematik in der Stringtheorie dar, sondern hat auch interessante Verbindungen zur Festkörperphysik aufgetan. Man kann gewisse Operatoren, die in der Eichtheorie auftreten, als integrable Spinketten betrachten. Die Energien dieser Spinketten können sehr effektiv mit dem Bethe Ansatz berechnet werden, einer Methode, die ursprünglich zur Lösung eines reinen Festkörperproblems, der Heisenbergschen Spinkette, entwickelt wurde. Inzwischen ist aus dieser Lösungsmethode eine eigene mathematische Disziplin erwachsen, die Theorie der integrablen Systeme. Viele der in diesem Gebiet entwickelten Methoden haben inzwischen Anwendung in der Stringtheorie gefunden . Ein wichtiger Aspekt von integrablen Systemen, wie von allen anderen physikalischen Systemen auch, ist deren Symmetrie. Unterschiedliche Symmetrietypen bestimmen maßgeblich das Verhalten physikalische Systeme, z.B. unterliegen Kristalle diskreten Drehsymmetrien, Feldtheorien kontinuierlichen Drehsymmetrien der Raumzeit sowie internen Drehsymmetrien. Solche kontinuierlichen Symmetrien werden in der Regel von sogenannten Lie Algebren beschrieben. Bei integrablen Systemen reichen diese Lie Algebren jedoch meist nicht aus. Man benötigt verallgemeinerte Symmetrieobjekte, sogenannte Hopf Algebren. In der vorliegenden Diplomarbeit wurden Anwendungen von Hopf Algebren in der AdS/CFT Korrespondenz untersucht. Während der Diplomarbeit wurde in Kollaboration mit Jan Plefka und Alessandro Torrielli festgestellt, dass der Effekt der Längenänderung von Spinketten durch eine Hopf Algebra beschrieben wird. Weiterhin wurde gezeigt, dass die Streumatrix der AdS/CFT Spinkette, ein zentrales Objekt zum Auffinden der Energien, invariant unter dieser Hopf Algebra ist. Außerdem wurde in der Diplomarbeit spekuliert, dass die gesamte Streumatrix, inklusive des bisher nicht aus ersten Prinzipien hergeleiteten skalaren Vorfaktors, von einer quasitriangularen Hopf Algebra stammen könnte. Hierfür sind nach Erscheinen der Diplomarbeit neue Hinweise gefunden worden. So wurde inzwischen gezeigt, dass die Streumatrix invariant unter einem Yangian, einer speziellen Hopf Algebra ist. Dieser Yangian funktioniert aber nur unter Hinzunahme der in der Diplomarbeit beschriebenen Hopf Algebra. Dies bestätigt die Korrektheit der in der Diplomarbeit gefundenen Strukturen.

Lebenslauf