"A class of mixed finite element methods based on the Helmholtz decomposition in computational mechanics"
Abbildung: privat
Zusammenfassung
Die zuverlässige numerische Approximation von Lösungen partieller Differentialgleichungen (PDEs) spielt eine fundamentale Rolle in der mechanischen Anwendung. Da die Rechenkapazität begrenzt ist und mit vorhandenen Ressourcen (wie zum Beispiel dem Stromverbrauch bei Hochleistungsrechnern) effizient umgegangen werden sollte, liegt neben der robusten, einfachen Implementierung numerischer Verfahren vor allem die erreichbare Genauigkeit von numerischen Methoden im Fokus der Forschung.
Die Dissertation von Mira Schedensack verlässt den konventionellen Zugang zur Approximation von PDE-Lösungen und bedient sich der Charakterisierung der Ableitung als konservatives Vektorfeld über eine Helmholtz-Zerlegung, die ein unstrukturiertes Vektorfeld in ein Gradienten und ein Rotationsfeld zerlegt. Es stellt sich heraus, dass dieses Vorgehen auf Methoden führt, die physikalisch konsistent im Sinne von Massenerhaltung sind. Durch die neue Methode wird letztere Eigenschaft erstmals für beliebige Approximationsordnungen ermöglicht. Das heißt, wenn der Rechenaufwand vervierfacht wird, konnte bisher nur eine Verbesserung des Fehlers um 50% erreicht werden. Mit einer Approximation der Ordnung j wird nun bei einer Vervierfachung des Rechenaufwands der Fehler auf das 2j-fache reduziert, d.h. für j=2 beträgt die Verbesserung 75%, bei j=3 sogar schon 87,5% usw.
Dieses Vorgehen wird nun auch auf Probleme höherer Ordnung verallgemeinert. Standard Ansatzfunktionen für solche Probleme sind zwar in der Theorie bekannt, diese sind allerdings kompliziert und es darf bezweifelt werden, dass diese für Probleme der Ordnung >2 jemals implementiert wurden. Da in der neu entwickelten Methode nicht die gesuchte Lösung selbst approximiert wird, sondern direkt deren höhere Ableitung, ermöglicht dies die Verwendung von einfachen Ansatzfunktionen, die in akademischer und industrieller Standard-Software zur Verfügung stehen. Die Implementierung der neuen Methode ist daher extrem einfach.
Neben der Entwicklung dieser neuen Methoden steht auch ihr Konvergenzverhalten im Fokus der Dissertation. In realen Anwendungen kann die gesuchte Lösung aufgrund von Singularitäten im Allgemeinen auf uniformen Gittern nicht optimal approximiert werden. Optimal heißt hier, dass mit einem möglichst geringem Rechenaufwand eine möglichst gute Approximation gefunden werden soll. Deswegen entwirft die Dissertation ein Verfahren, das adaptiv und voll-automatisch Gitter generiert, auf denen die neuen Verfahren optimal konvergieren. Schon bei der Rechenkapazität eines Standard-PCs führt die adaptive Gittergenerierung dazu, dass der Fehler nur etwa 0.1% des Fehlers ohne adaptive Gittergenerierung beträgt. Dieser Unterschied wird bei steigender Rechenleistung aber noch größer. Die adaptive Gittergenerierung ist also gerade bei der Verwendung von Höchstleistungsrechnern unerlässlich und erst durch sie können zuverlässige Ergebnisse oftmals überhaupt erst erzielt werden!