Humboldt-Universität zu Berlin

Zusammenfassung

Eine der spannendsten und ältesten Fragen der Physik ist die nach den Grundbausteinen der Materie und den zwischen ihnen wirkenden Naturkräften. Dank moderner Experimente an Teilchenbeschleunigern, wie beispielsweise dem LHC, konnten bereits viele Fragen – wie zuletzt auch die nach der Existenz des Higgs-Bosons – erfolgreich geklärt werden. Das theoretische Rückgrat der physikalischen Beschreibung des subatomaren Bereichs bilden sogenannte Yang-Mills-Theorien, welche in Form des Standardmodells experimentell sehr genau bestätigt werden konnten. Trotz dieser Erfolge bleibt unser Verständnis der Eingangsfrage doch in anderer Hinsicht unbefriedigend. Das liegt zum einen an der Unvollständigkeit des Standardmodells in Bezug auf eine konsistente Beschreibung der Gravitation und zum anderen daran, dass wir in der Beschreibung von Yang-Mills-Theorien auf approximative Berechnungen angewiesen sind, welche nicht nur höchst komplex sind, sondern leider auch ein umfassendes qualitatives Verständnis dieser Theorien nahezu unmöglich machen.

Für das Modellsystem der maximal supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie (N=4 SYM) scheint nun erstmals die Möglichkeit zu bestehen, den Beschränkungen approximativer Ergebnisse im Bereich einer wechselwirkenden, vierdimensionalen Quantenfeldtheorie zu entkommen. Diese Theorie ist seit der Entdeckung ihrer Dualität zu einer höherdimensionalen Stringtheorie eines der zentralen Modellsysteme der mathematischen Physik. Die vermutete Dualität erlaubt nicht nur Einblicke in Bereiche der Yang-Mills-Theorie, die den üblichen approximativen Methoden unzugänglich sind, sondern stellt auch einen interessanten Bezug zwischen einer Theorie der Quantengravitation und einer Yang-Mills-Theorie her. Ein unmittelbares Ziel der Forschung in diesem Bereich ist die Entwicklung neuartiger mathematischer Methoden, welche eine exakte Berechnung aller Observablen des Modells zulassen und somit wesentlich zu einem tiefer gehenden Verständnis der Struktur von vierdimensionalen Yang-Mills-Theorien beitragen. Langfristig erhofft man sich weiterhin die gewonnenen Methoden und Erkenntnisse zur effizienten Berechnung von Observablen in phänomenologisch relevanten Yang-Mills-Theorien einzusetzen.

Die der Integrabilität, das heißt der exakten Lösbarkeit des N=4 SYM-Modells zugrunde liegende algebraische Struktur ist der Yangian, welchen man als eine unendlichdimensionale Erweiterung der typischen Symmetriestruktur der Theorie auffassen kann. Yang'sche Symmetrien wurden bereits für verschiedene Observablen in N=4 SYM nachgewiesen, für die auch exakte Ergebnisse erzielt werden konnten.

Im ersten Teil der Dissertation wird der Yangian innerhalb einer neuen Klasse von Objekten etabliert, den sogenannten Super-Wilson-Schleifen. Super-Wilson-Schleifen stellen eine an die Supersymmetrie der Theorie angepasste Verallgemeinerung von gewöhnlichen Wilson-Schleifen dar und enthalten unter anderem Informationen über Streuprozesse sowie die Kraft, mit der sich bestimmte Materieteilchen anziehen. Die vollständige Konstruktion dieser neuartigen Schleifenoperatoren wird ausführlich zu Beginn der Arbeit diskutiert. Zur Untersuchung der Yang'schen Symmetrie werden im Anschluss detaillierte Überlegungen zur Frage angestellt, in welcher Art und Weise Yang'sche Generatoren konsistent auf Wilson-Schleifen wirken können. Die in diesem Kapitel gewonnenen Einsichten werden nachfolgend nicht nur zum Beweis der Yang'schen Symmetrie von Super-Wilson-Schleifen genutzt, sondern liefern auch wichtige Erkenntnisse darüber, welche Eigenschaften des N=4 SYM-Modells verantwortlich sind für dessen Integrabilität.

Ein weiteres zentrales Resultat meiner Arbeit ist die Entdeckung einer rein bosonischen Yang'schen Symmetrie innerhalb einer bestimmten Klasse von Feynman-Integralen, den sogenannten Fischnetz-Integralen. Feynman-Integrale spielen eine wichtige Rolle bei der approximativen Berechnung von Observablen im Rahmen des Standardzugangs zur Quantenfeldtheorie. Obwohl die Entdeckung der Symmetrie im Kontext des N=4 SYM-Modells erfolgte, spielen Fischnetz-Integrale auch jenseits dieser speziellen Theorie eine Rolle, so z. B. auch im Standardmodell. Potenziell bietet sich somit nun erstmals die Gelegenheit, Yang'sche Symmetrie zur Berechnung von phänomenologisch relevanten Objekten einzusetzen.