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Humboldt-Universität zu Berlin

Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods

Dr. rer. nat. Friederike Hellwig schrieb ihre Dissertation an der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Humboldt-Universität. Für ihre Dissertation wurde sie mit dem Humboldt-Preis 2019 ausgezeichnet.

Zusammenfassung

Bei der mathematischen Modellierung vieler physikalischer Vorgänge ergeben sich partielle Differentialgleichungen. So werden etwa Strömungen von Newtonschen Flüssigkeiten durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, Temperaturverteilungen in Medien genügen der Wärmeleitungsgleichung und im Elektromagnetismus existieren die berühmten Maxwell-Gleichungen. Für verschiedenste Anwendungen, von der Fertigung von Flugzeugteilen bis zur Modellierung von Biomaterialien, sind Lösungen solcher Gleichungen interessant. Doch diese lassen sich nur in Spezialfällen auch theoretisch berechnen.

Zur näherungsweisen Lösung existieren verschiedene numerische Verfahren, unter ihnen die Finite-Elemente-Methoden (FEM), die auf einer Approximation des Gebietes durch beispielsweise Dreiecks- oder Tetraedernetzen beruhen. Je feiner ein solches Netz ist, desto genauer entspricht die angenäherte der exakten Lösung. Wird die Netzweite überall unendlich klein, konvergieren die approximativen Lösungen gegen die exakte. Jedoch erfordert die numerische Berechnung solcher Lösungen auf immer feineren Netzen eine immer höhere Rechenleistung und Laufzeit. Adaptive Algorithmen schaffen hierfür Abhilfe, indem sukzessive nur diejenigen Bereiche des Netzes verfeinert werden, an denen der Fehler mittels eines Fehlerschätzers am größten geschätzt wird, um eine optimale Balance zwischen Rechenkosten und Genauigkeit zu erreichen.

Meine Dissertation “Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods” betrachtet adaptive Algorithmen einer speziellen Klasse von Finite-Elemente-Methoden, der Klasse der diskontinuierlichen Petrov-Galerkin-Finite-Elemente-Methoden (dPG-FEM). Diese bilden eine neue Klasse von Finite-Elemente-Methoden, die sich durch vergleichsweise leichte Konstruktion der diskreten Räume auszeichnet. Weitere Vorteile dieser Methoden, etwa ein sehr flexibles Netzdesign, erhöhte Stabilitätseigenschaften und ein eingebauter Fehlerschätzer führten in den letzten Jahren zu lebhafter Forschungsaktivität in Mathematik und Ingenieurswesen. Die Relevanz der so bereits entstandenen Anwendungen macht die Analyse adaptiver dPG-Methoden unabdingbar. Denn während eine Vielzahl der Publikationen über dPG-Methoden numerische Experimente mit adaptiven Algorithmen beinhaltet, ist meine Arbeit die erste, die deren Konvergenz theoretisch beweist.

Der Kernpunkt meiner Arbeit sind dabei Herleitung äquivalenter Formulierungen vierer dPG-Methoden und darauf aufbauend die Konstruktion alternativer Fehlerschätzer, die die Methoden für Beweise im Rahmen der Axiome der Adaptivität (nach Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014) zugänglich machen. In diesem Framework beweist meine Arbeit nicht nur die Konvergenz der adaptiven dPG-Methoden, sondern sogar die Konvergenz mit optimalen Raten. Das bedeutet vereinfacht, dass die durch den adaptiven Algorithmus erzeugten Netze das optimale Verhältnis von Genauigkeit der Lösung und der Anzahl der benötigten Rechenschritten erfüllen.