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Humboldt-Universität zu Berlin

Peter Herbrich

Humboldt-Preis für seine Diplomarbeit

On Inaudible Properties of Broken Drums - Isospectral Domains with Mixed Boundary Conditions

Die sehr anschaulich dargestellte Arbeit aus der Reinen Mathematik befasst sich mit der Übersetzung des Phänomens: Kann man kaputte Trommeln hören deren Fell nur teilweise am Rand befestigt ist?

Diese Übersetzung des Problems mit der Transplantationsmethode in die Reine Mathematik, die Graphentheorie ermöglichte den Einsatz eines eigens entwickelten Computerprogramms zur systematischen Suche nach neuen transplantablen Paaren, d.h. nach noch unbekannten Paaren gleichklingender Instrumente. U.a. stellte sich dabei heraus, dass man bei kaputten Trommeln nicht hören kann, welcher Teil des Fells abgerissen ist.


Zusammenfassung

Kann man die Form einer Trommel hören? - Diese Frage leitete Mitte der Sechziger Jahre die Entwicklung der so genannten Spektralgeometrie ein. Dieser Teilbereich der Reinen Mathematik hat vielfältige Anwendungen über die klassische Akustik hinaus und ist beispielsweise eng mit der Quantentheorie verbunden. Das Modell der Trommel dient nur als eine mögliche Veranschaulichung der mathematisch interessanten Eigenwertprobleme. In den wenigsten Fällen kann man deren Lösungen exakt angeben. Vielmehr sind Wissenschaftler in der Regel gezwungen, mit Hilfe des Computers approximative Lösungen zu berechnen oder sich auf qualitative Aussagen zu beschränken. Dennoch kann man beweisen, dass die Tonhöhen, die eine Trommel produziert, beispielsweise ihre Fläche und ihren Umfang eindeutig festlegen, d.h. diese Eigenschaften sind hörbar. Nach über 25 Jahren intensiver Forschung wurden schließlich zwei verschieden aussehende aber theoretisch gleichklingende Trommeln konstruiert. Auf elegante Art umging die dabei verwendete Transplantationsmethode die Berechnung der exakten Lösungen, d.h. der tatsächlich auftretenden Schwingungen. Wenige Jahre später wurde die theoretisch ermittelte Übereinstimmung der Spektren in einem Versuch mit Mikrowellenstrahlung experimentell verifiziert.

In dieser Diplomarbeit wurde die Transplantationsmethode auf kaputte Trommeln angewendet, d.h. auf Trommeln, deren Fell nur teilweise am Rand befestigt ist. Die entsprechenden Eigenwertprobleme mit gemischten Randbedingungen treten unter anderem auch in der Stringtheorie auf. Darüberhinaus wurden im Rahmen dieser Arbeit verschiedene Methoden entwickelt, mit denen sich neue transplantable Paare aus bekannten gewinnen lassen. Diese Methoden lassen sich insbesondere auf die derzeit intensiv untersuchten Quantengraphen anwenden. Quantengraphen sind eindimensionale Systeme, die als Modelle in der Physik, in der Chemie und in den Ingenieurswissenschaften - z.B. im Bereich der Nanotechnologie und Mikroelektronik - eingesetzt werden.

Kernstück der Diplomarbeit ist die Beschreibung der Transplantationsmethode durch spezielle Graphen. Diese Übersetzung des Problems in die Graphentheorie ermöglichte den Einsatz eines eigens entwickelten Computerprogramms zur systematischen Suche nach neuen transplantablen Paaren, d.h. nach noch unbekannten Paaren gleichklingender Instrumente. Unter anderem stellte sich heraus, dass eine einzige Trommel genauso klingen kann wie zwei kleinere Trommeln mit gebogenen Rändern zusammen, d.h. man kann die Anzahl an Instrumenten nicht hören. Außerdem zeigte sich, dass man bei kaputten Trommeln nicht hören kann, welcher Teil des Fells abgerissen ist. Schließlich kann man bei Trommeln mit beliebigen Rändern nicht einmal hören, ob eine Trommel überhaupt kaputt ist.