SFB/TRR 388/1: „Statistik für Bevölkerungsmodelle mit stochastischen (partiellen) Verzögerungsdifferentialgleichungen“ (TP B07)

Stochastische (partielle) Verzögerungsdifferentialgleichungen (im Folgenden S(P)delayDEs) sind in letzter Zeit in Populationsmodellen aufgetaucht, die in der Populationsgenetik und Ökologie verwendet werden. Hier kann der Verzögerungsterm intrinsisch motiviert sein, um die als Dormanz bekannte Evolutionskraft zu beschreiben, einen Mechanismus, der besonders in mikrobiellen Populationen verbreitet ist und als entscheidend für deren Evolution und Ökologie angesehen wird. Dieses Projekt konzentriert sich auf die Schätzung und Überprüfung des Vorhandenseins oder der Form der Verzögerung und anderer Schlüsselparameter für Modelle, die durch gewöhnliche und partielle stochastische Differentialgleichungen vom Typ Wright-Fisher mit Zeitverzögerung beschrieben werden.
Zu diesem Zweck werden neuartige statistische Methoden entwickelt, um Schätzer und Tests für relevante biologische Größen zu konstruieren. Dies erfordert ein tiefgreifendes Verständnis der Lösungsprozesse, z. B. ihrer Regularität oder Ergodizitätseigenschaften. Die größte mathematische Herausforderung besteht darin, die Gesetze von Schätzern und Teststatistiken zu analysieren, die auf den komplexen datengenerierenden Prozessen von S(P)delayDEs basieren. Ein wichtiges Inferenzproblem besteht darin, zu testen, ob ein Verzögerungsterm vorliegt, im Gegensatz zur Nullhypothese der Markovianität. Oft wird eine parametrische Form der Verzögerung (wie eine einfache exponentielle Gewichtung) angenommen, die es ermöglicht, die Markov-Dynamik auf einem größeren Zustandsraum zu betrachten, und die eine parametrische statistische Inferenz erfordert. Für allgemeine Verzögerungsgewichtungsfunktionen sind die Lösungstheorie und das Langzeitverhalten komplexer und werden im Detail untersucht werden. Die Konstruktion und Analyse nichtparametrischer Schätzer für die Gewichtungsfunktion erfordert weitere Erweiterungen der bestehenden statistischen und probabilistischen Theorie. Ein besonderer Schwerpunkt dieses Projekts liegt auf der nachweisbaren statistischen Effizienz von Inferenzverfahren, die für S(P)delayDE-Modelle in der Wissenschaft relevant sind, mit einem Schwerpunkt auf Populationsmodellen, die möglicherweise eine Ruhephase beinhalten.